6 måter å faktor andre polynom (kvadratiske ligninger) på

Innholdsfortegnelse:

6 måter å faktor andre polynom (kvadratiske ligninger) på
6 måter å faktor andre polynom (kvadratiske ligninger) på

Video: 6 måter å faktor andre polynom (kvadratiske ligninger) på

Video: 6 måter å faktor andre polynom (kvadratiske ligninger) på
Video: Power Factor Correction 2024, Mars
Anonim

Et polynom inneholder en variabel (x) hevet til en effekt, kjent som en grad, og flere termer og/eller konstanter. Å faktorisere et polynom betyr å dele uttrykket i mindre uttrykk som formerer seg. Denne kunnskapen studeres fra Algebra I og fremover, og kan være vanskelig å forstå hvis du ikke har et grunnlag.

trinn

Starter

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 1
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 1

Trinn 1. Monter uttrykket

Standardformatet for den kvadratiske ligningen er:

øks2 + bx + c = 0

Start med å bestille vilkårene i ligningen fra størst til minst kraft, akkurat som i skjemaet ovenfor. Ta for eksempel;

6 + 6x2 + 13x = 0

Uttrykket blir omorganisert slik at det kan arbeides lettere ved å endre plasseringen av begrepene:

6x2 + 13x + 6 = 0

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 2
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 2

Trinn 2. Finn den fakturerte formen ved å bruke en av metodene nedenfor

Faktorisering av et polynom resulterer i to mindre uttrykk som kan multipliseres for å produsere det opprinnelige polynomet:

6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

I dette eksemplet er (2x +3) og (3x + 2) faktorer for det opprinnelige uttrykket, 6x2 + 13x + 6.

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 3
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 3

Trinn 3. Sjekk resultatet

Multipliser de identifiserte faktorene. Så er det bare å kombinere lignende termer. Starte med:

(2x + 3) (3x + 2)

La oss teste det ved å bruke FOIL -metoden (engelsk for First Outside, Inside, Last - outside first, then inside), også kalt distributiv egenskapen til multiplikasjon, og får:

6x2 + 4x + 9x + 6

Det er nå mulig å legge til 4x og 9x siden de er lignende termer. Du vet at faktorene er riktige fordi den opprinnelige ligningen ble oppnådd:

6x2 + 13x + 6

Metode 1 av 6: Prøve og feil

Hvis du har et veldig enkelt polynom, kan du kanskje finne ut faktorene selv ved å se på det. For eksempel, etter trening, er mange matematikere i stand til å identifisere at uttrykket 4x2 + 4x + 1 har faktorene (2x + 1) og (2x + 1) etter å ha jobbet mye med dette uttrykket tidligere. Men det blir selvfølgelig ikke så lett med de mer kompliserte polynomene. I dette eksemplet bruker vi et mindre vanlig uttrykk:

3x2 + 2x - 8

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 4
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 4

Trinn 1. Liste opp faktorene for begrepene a og c

Bruker standard øksformat2 + bx + c = 0, identifiser begrepene til a og c og angi faktorene deres. For 3x2 + 2x - 8, dette betyr:

a = 3 og har et sett med faktorer: 1 * 3

c = -8 og har fire sett med faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 5
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 5

Trinn 2. Sett sammen to sett med tomme parenteser

Du vil fylle dem med konstantene i hvert uttrykk:

(x) (x)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Trinn 6
Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Trinn 6

Trinn 3. Fyll ut mellomrom foran x -tallet med et par mulige faktorer for a -verdien

For begrepet a i eksemplet som brukes, 3x2, det er bare en mulighet:

(3x) (1x)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Trinn 7
Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Trinn 7

Trinn 4. Fyll ut de to mellomromene etter x -tallet med et par faktorer for konstantene

Anta at du velger tallene 8 og 1. Skriv dem ned:

(3x

Trinn 8.)(

Trinn 1

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 8
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 8

Trinn 5. Bestem hvilke tegn (addisjon eller subtraksjon) som skal gå mellom variablene til x og tallene

Avhengig av tegnene i det opprinnelige uttrykket, er det mulig å finne ut hva tegnene på konstantene skal være. La oss kalle de to konstantene for de to faktorene h og k:

hvis x2 + bx + c, deretter (x + h) (x + k)

hvis x2 - bx - c eller øks2 + bx - c, deretter (x - h) (x + k)

hvis x2 - bx + c, deretter (x - h) (x - k)

For eksempel 3x2 + 2x - 8, tegnene må være: (x - h) (x + k), noe som resulterer i de to faktorene:

(3x + 8) og (x - 1)

Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Trinn 9
Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations) Trinn 9

Trinn 6. Test valgene ved å bruke den distribuerende egenskapen

En rask første test som skal kjøres, er å se om mellomuttrykkene samsvarer med de riktige verdiene. Hvis ikke, har du kanskje valgt feil faktorer for c. La oss teste svaret:

(3x + 8) (x - 1)

Når du utfører multiplikasjonen, får du:

3x2 - 3x + 8x - 8

Ved å forenkle dette uttrykket med summen av lignende termer (-3x) og (8x), får du:

3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8

Nå vet vi at vi må identifisere feil faktorer:

3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 10
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 10

Trinn 7. Endre faktorer om nødvendig

I eksemplet som brukes, la oss prøve å bruke 2 og 4 i stedet for 1 og 8:

(3x + 2) (x - 4)

Nå er c -termen lik -8, men det ytre/indre produktet (3x * -4) og (2 * x) er lik -12x og 2x, som ikke skal kombineres for å lage det riktige b -termen på +2x.

-12x + 2x = 10x

10x ≠ 2x

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 11
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 11

Trinn 8. Omvendt rekkefølge hvis nødvendig

La oss prøve å flytte 2 og 4:

(3x + 4) (x - 2)

Nå er c -uttrykket (4 * 2 = 8) fortsatt riktig, men de ytre/indre produktene er -6x og 4x. Ved å kombinere dem:

-6x + 4x = 2x

2x ≠ -2x Vi er nær 2x, men signalet er feil.

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 12
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 12

Trinn 9. Kontroller skiltene om nødvendig

Behold samme rekkefølge, men endre den med minustegnet:

(3x - 4) (x + 2)

Nå er c-termen fortsatt korrekt, men de ytre/indre produktene er (6x) og (-4x). Som:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Det er nå mulig å gjenkjenne det positive begrepet 2x fra det opprinnelige problemet. Dette må være de riktige faktorene.

Metode 2 av 6: Spaltning

Denne metoden identifiserer alle mulige faktorer for begrepene a og c og bruker dem til å finne ut hva faktorene skal være. Hvis tallene er for store eller de andre metodene virker mer kompliserte, bruk denne metoden. La oss bruke eksemplet:

6x2 + 13x + 6

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 13
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 13

Trinn 1. Multipliser begrepene a og c

I dette eksemplet er begge lik 6.

6 * 6 = 36

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 14
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 14

Trinn 2. Finn verdien av term b ved factoring og testing

Du må finne to tall som er faktorer for produktet av a * c og som også tilsvarer begrepet b (13) når de legges sammen.

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 15
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 15

Trinn 3. Erstatt de to tallene som er oppnådd i ligningen som summen av begrepet b

La oss bruke k og h for å representere de to tallene vi får, 4 og 9:

øks2 + kx + hx + c

6x2 + 4x + 9x + 6

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 16
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 16

Trinn 4. Faktor polynomet gjennom gruppering

Ordne ligningen slik at du kan regne ut den største fellesfaktoren for de to første og siste to leddene. Begge faktoriserte grupper må være de samme. Legg sammen de største fellesfaktorene og plasser dem i parentes ved siden av den faktorerte gruppen; resultatet vil være de to faktorene:

6x2 + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metode 3 av 6: Triple Match

I likhet med dekomponering, undersøker "triple-start" -metoden de mulige faktorene til produktene av begrepene a og c, og bruker dem deretter til å finne verdien av b. Som et eksempel kan du vurdere følgende ligning:

8x2 + 10x + 2

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 17
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 17

Trinn 1. Multipliser begrepene a og c

Dette vil hjelpe deg med å identifisere mulighetene for b -termen så vel som dekomponeringsmetoden. I dette eksemplet er a lik 8 og c er lik 2.

8 * 2 = 16

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 18
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 18

Trinn 2. Finn to tall med tallene hvis produkt og sum er ekvivalent med begrepet b

Dette trinnet er identisk med dekomponeringsmetoden - du må teste og avvise kandidater for konstanter. Produktet av begrepene a og c er 16, og begrepet c er lik 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Faktor Andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 19
Faktor Andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 19

Trinn 3. Ta disse to tallene og test substitusjonen i "trippelkamp" -formelen

Ta de to tallene fra forrige trinn - la oss kalle dem h og k - og sette dem i dette uttrykket:

((ax + h) (ax + k)) / a

I dette tilfellet får vi:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 20
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 20

Trinn 4. Se hvilken av de to begrepene i telleren som er like delelig med a

I dette eksemplet tester vi om (8x + 8) eller (8x + 2) kan deles med 8. (8x + 8) er delelig med 8, så la oss dele dette begrepet med a og la de andre være som de er.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Begrepet vi sparer i dette tilfellet er resten av divisjonen med begrepet a: (x + 1)

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 21
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 21

Trinn 5. Ta den største fellesfaktoren for ett eller begge begrepene, hvis noen

I dette eksemplet har det andre uttrykket tallet 2 som sin største fellesfaktor, siden 8x + 2 = 2 (4x + 1). Match dette svaret med begrepet identifisert i forrige trinn. Dette er faktorene i ligningen.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metode 4 av 6: Forskjell på to røtter

Noen koeffisienter i polynomer kan identifiseres som "røtter", eller produktet av to tall. Ved å identifisere disse røttene kan du faktorere polynomer mye raskere. Vurder ligningen:

27x2 - 12 = 0

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 22
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 22

Trinn 1. Faktor inn den største fellesfaktoren hvis mulig

I dette tilfellet kan vi se at 27 og 12 begge er delbare med 3, så la oss skille dem:

27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 23
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 23

Trinn 2. Identifiser om ligningens koeffisienter er kvadratiske tall

For å bruke denne metoden må du kunne få den nøyaktige kvadratroten av termer. Vær oppmerksom på at minustegnene er utelatt, ettersom disse tallene er firkanter som kan være produkter med to positive eller negative tall.

9x2 = 3x * 3x og 4 = 2 * 2

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 24
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 24

Trinn 3. Bruk de identifiserte kvadratrøttene til å skrive ned faktorene

Ta verdiene til a og c fra trinnet ovenfor (a = 9 og c = 4) og beregne kvadratrøttene deres - √ a = 3 og √ c = 2. De vil være faktorkoeffisientene til uttrykkene:

27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metode 5 av 6: Kvadratisk formel

Hvis de andre metodene mislykkes og ligningen ikke er jevnt faktorisert, bruker du kvadratisk formel. Vurder følgende eksempel:

x2 + 4x + 1 = 0

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 25
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 25

Trinn 1. Erstatt de tilsvarende verdiene i den kvadratiske formelen:

x = -b ± √ (b2 - 4c)

2.

Vi får uttrykket:

x = -4 ± √ (42 - 4•1•1) / 2

Faktor Andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 26
Faktor Andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 26

Trinn 2. Beregn verdien av x

Du bør få to verdier for x. Som vist ovenfor får vi to svar:

x = -2 + √ (3) eller x = -2 -√ (3)

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 27
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 27

Trinn 3. Bruk x -verdiene til å beregne faktorene

Erstatt x -verdiene. De vil være faktorene. Hvis vi identifiserer de to svarene som h og k, må vi skrive faktorene som følger:

(x - h) (x - k)

I dette tilfellet er det endelige svaret:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

Metode 6 av 6: Bruke en kalkulator

Hvis det er mulig å bruke det, gjør en grafisk kalkulator factoring -prosessen mye enklere, spesielt i tester. Følgende instruksjoner er for en grafisk kalkulator. Vurder følgende eksempel:

y = x2 - x - 2

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 28
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 28

Trinn 1. Skriv inn ligningen i kalkulatoren

Du vil bruke en ligningsløser, også kjent som en [Y =] skjerm.

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 29
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 29

Trinn 2. Graf ligningen på kalkulatoren

Etter å ha skrevet inn ligningen, trykker du på [GRAPH] -tasten - du bør se en bue som representerer ligningen (og det vil være en bue siden vi har å gjøre med polynom).

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 30
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 30

Trinn 3. Se hvor buen krysser x -aksen

Siden polynomligninger vanligvis skrives som øks2 + bx + c = 0, dette er de to verdiene til x som gjør uttrykket lik null:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Hvis du ikke kan identifisere hvor grafen krysser x-aksen, trykker du på [2.] og deretter [TRACE]. Trykk på [2] eller velg "null". Skyv markøren til venstre for krysset, og trykk på [ENTER]. Skyv markøren til høyre for krysset, og trykk på [ENTER]. Skyv markøren så nær krysset og trykk [ENTER]. Kalkulatoren finner verdien av x. Gjør det samme for det andre krysset

Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 31
Faktor andre graders polynom (kvadratiske ligninger) Trinn 31

Trinn 4. Erstatt x -verdiene oppnådd i forrige trinn i to faktoruttrykk

Når du bruker de to verdiene x (h og k), vil uttrykket som brukes være:

(x - h) (x - k) = 0

Derfor må de to faktorene være:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Tips

  • Hvis du har en TI-84 (grafikk) kalkulator, er det et program som heter "SOLVER" som løser en kvadratisk ligning. Det løser også polynomer av andre grader.
  • Hvis et begrep ikke eksisterer, er koeffisienten 0. Det kan være nyttig å skrive om ligningen hvis den gjør det, for eksempel: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
  • Hvis du fakturerte et polynom ved hjelp av den kvadratiske formelen og fikk svar med radikaler, konverter x -verdiene til brøker for å sjekke dem.
  • Hvis begrepet ikke har en skriftlig koeffisient, vil det være 1, det vil si x2 = 1x2.
  • Etter mye øvelse, vil du til slutt kunne faktorisere polynom i hodet ditt. Inntil da skriver du dem ned på papir.

Anbefalt: