Et polynom inneholder en variabel (x) hevet til en effekt, kjent som en grad, og flere termer og/eller konstanter. Å faktorisere et polynom betyr å dele uttrykket i mindre uttrykk som formerer seg. Denne kunnskapen studeres fra Algebra I og fremover, og kan være vanskelig å forstå hvis du ikke har et grunnlag.
trinn
Starter
Trinn 1. Monter uttrykket
Standardformatet for den kvadratiske ligningen er:
øks2 + bx + c = 0
Start med å bestille vilkårene i ligningen fra størst til minst kraft, akkurat som i skjemaet ovenfor. Ta for eksempel;
6 + 6x2 + 13x = 0
Uttrykket blir omorganisert slik at det kan arbeides lettere ved å endre plasseringen av begrepene:
6x2 + 13x + 6 = 0
Trinn 2. Finn den fakturerte formen ved å bruke en av metodene nedenfor
Faktorisering av et polynom resulterer i to mindre uttrykk som kan multipliseres for å produsere det opprinnelige polynomet:
6x2 + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
I dette eksemplet er (2x +3) og (3x + 2) faktorer for det opprinnelige uttrykket, 6x2 + 13x + 6.
Trinn 3. Sjekk resultatet
Multipliser de identifiserte faktorene. Så er det bare å kombinere lignende termer. Starte med:
(2x + 3) (3x + 2)
La oss teste det ved å bruke FOIL -metoden (engelsk for First Outside, Inside, Last - outside first, then inside), også kalt distributiv egenskapen til multiplikasjon, og får:
6x2 + 4x + 9x + 6
Det er nå mulig å legge til 4x og 9x siden de er lignende termer. Du vet at faktorene er riktige fordi den opprinnelige ligningen ble oppnådd:
6x2 + 13x + 6
Metode 1 av 6: Prøve og feil
Hvis du har et veldig enkelt polynom, kan du kanskje finne ut faktorene selv ved å se på det. For eksempel, etter trening, er mange matematikere i stand til å identifisere at uttrykket 4x2 + 4x + 1 har faktorene (2x + 1) og (2x + 1) etter å ha jobbet mye med dette uttrykket tidligere. Men det blir selvfølgelig ikke så lett med de mer kompliserte polynomene. I dette eksemplet bruker vi et mindre vanlig uttrykk:
3x2 + 2x - 8
Trinn 1. Liste opp faktorene for begrepene a og c
Bruker standard øksformat2 + bx + c = 0, identifiser begrepene til a og c og angi faktorene deres. For 3x2 + 2x - 8, dette betyr:
a = 3 og har et sett med faktorer: 1 * 3
c = -8 og har fire sett med faktorer: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 og -1 * 8.
Trinn 2. Sett sammen to sett med tomme parenteser
Du vil fylle dem med konstantene i hvert uttrykk:
(x) (x)
Trinn 3. Fyll ut mellomrom foran x -tallet med et par mulige faktorer for a -verdien
For begrepet a i eksemplet som brukes, 3x2, det er bare en mulighet:
(3x) (1x)
Trinn 4. Fyll ut de to mellomromene etter x -tallet med et par faktorer for konstantene
Anta at du velger tallene 8 og 1. Skriv dem ned:
(3x
Trinn 8.)(
Trinn 1
Trinn 5. Bestem hvilke tegn (addisjon eller subtraksjon) som skal gå mellom variablene til x og tallene
Avhengig av tegnene i det opprinnelige uttrykket, er det mulig å finne ut hva tegnene på konstantene skal være. La oss kalle de to konstantene for de to faktorene h og k:
hvis x2 + bx + c, deretter (x + h) (x + k)
hvis x2 - bx - c eller øks2 + bx - c, deretter (x - h) (x + k)
hvis x2 - bx + c, deretter (x - h) (x - k)
For eksempel 3x2 + 2x - 8, tegnene må være: (x - h) (x + k), noe som resulterer i de to faktorene:
(3x + 8) og (x - 1)
Trinn 6. Test valgene ved å bruke den distribuerende egenskapen
En rask første test som skal kjøres, er å se om mellomuttrykkene samsvarer med de riktige verdiene. Hvis ikke, har du kanskje valgt feil faktorer for c. La oss teste svaret:
(3x + 8) (x - 1)
Når du utfører multiplikasjonen, får du:
3x2 - 3x + 8x - 8
Ved å forenkle dette uttrykket med summen av lignende termer (-3x) og (8x), får du:
3x2 - 3x + 8x - 8 = 3x2 + 5x - 8
Nå vet vi at vi må identifisere feil faktorer:
3x2 + 5x - 8 ≠ 3x2 + 2x - 8
Trinn 7. Endre faktorer om nødvendig
I eksemplet som brukes, la oss prøve å bruke 2 og 4 i stedet for 1 og 8:
(3x + 2) (x - 4)
Nå er c -termen lik -8, men det ytre/indre produktet (3x * -4) og (2 * x) er lik -12x og 2x, som ikke skal kombineres for å lage det riktige b -termen på +2x.
-12x + 2x = 10x
10x ≠ 2x
Trinn 8. Omvendt rekkefølge hvis nødvendig
La oss prøve å flytte 2 og 4:
(3x + 4) (x - 2)
Nå er c -uttrykket (4 * 2 = 8) fortsatt riktig, men de ytre/indre produktene er -6x og 4x. Ved å kombinere dem:
-6x + 4x = 2x
2x ≠ -2x Vi er nær 2x, men signalet er feil.
Trinn 9. Kontroller skiltene om nødvendig
Behold samme rekkefølge, men endre den med minustegnet:
(3x - 4) (x + 2)
Nå er c-termen fortsatt korrekt, men de ytre/indre produktene er (6x) og (-4x). Som:
6x - 4x = 2x
2x = 2x Det er nå mulig å gjenkjenne det positive begrepet 2x fra det opprinnelige problemet. Dette må være de riktige faktorene.
Metode 2 av 6: Spaltning
Denne metoden identifiserer alle mulige faktorer for begrepene a og c og bruker dem til å finne ut hva faktorene skal være. Hvis tallene er for store eller de andre metodene virker mer kompliserte, bruk denne metoden. La oss bruke eksemplet:
6x2 + 13x + 6
Trinn 1. Multipliser begrepene a og c
I dette eksemplet er begge lik 6.
6 * 6 = 36
Trinn 2. Finn verdien av term b ved factoring og testing
Du må finne to tall som er faktorer for produktet av a * c og som også tilsvarer begrepet b (13) når de legges sammen.
4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Trinn 3. Erstatt de to tallene som er oppnådd i ligningen som summen av begrepet b
La oss bruke k og h for å representere de to tallene vi får, 4 og 9:
øks2 + kx + hx + c
6x2 + 4x + 9x + 6
Trinn 4. Faktor polynomet gjennom gruppering
Ordne ligningen slik at du kan regne ut den største fellesfaktoren for de to første og siste to leddene. Begge faktoriserte grupper må være de samme. Legg sammen de største fellesfaktorene og plasser dem i parentes ved siden av den faktorerte gruppen; resultatet vil være de to faktorene:
6x2 + 4x + 9x + 6
2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2x + 3) (3x + 2)
Metode 3 av 6: Triple Match
I likhet med dekomponering, undersøker "triple-start" -metoden de mulige faktorene til produktene av begrepene a og c, og bruker dem deretter til å finne verdien av b. Som et eksempel kan du vurdere følgende ligning:
8x2 + 10x + 2
Trinn 1. Multipliser begrepene a og c
Dette vil hjelpe deg med å identifisere mulighetene for b -termen så vel som dekomponeringsmetoden. I dette eksemplet er a lik 8 og c er lik 2.
8 * 2 = 16
Trinn 2. Finn to tall med tallene hvis produkt og sum er ekvivalent med begrepet b
Dette trinnet er identisk med dekomponeringsmetoden - du må teste og avvise kandidater for konstanter. Produktet av begrepene a og c er 16, og begrepet c er lik 10:
2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Trinn 3. Ta disse to tallene og test substitusjonen i "trippelkamp" -formelen
Ta de to tallene fra forrige trinn - la oss kalle dem h og k - og sette dem i dette uttrykket:
((ax + h) (ax + k)) / a
I dette tilfellet får vi:
((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Trinn 4. Se hvilken av de to begrepene i telleren som er like delelig med a
I dette eksemplet tester vi om (8x + 8) eller (8x + 2) kan deles med 8. (8x + 8) er delelig med 8, så la oss dele dette begrepet med a og la de andre være som de er.
(8x + 8) = 8 (x + 1)
Begrepet vi sparer i dette tilfellet er resten av divisjonen med begrepet a: (x + 1)
Trinn 5. Ta den største fellesfaktoren for ett eller begge begrepene, hvis noen
I dette eksemplet har det andre uttrykket tallet 2 som sin største fellesfaktor, siden 8x + 2 = 2 (4x + 1). Match dette svaret med begrepet identifisert i forrige trinn. Dette er faktorene i ligningen.
2 (x + 1) (4x + 1)
Metode 4 av 6: Forskjell på to røtter
Noen koeffisienter i polynomer kan identifiseres som "røtter", eller produktet av to tall. Ved å identifisere disse røttene kan du faktorere polynomer mye raskere. Vurder ligningen:
27x2 - 12 = 0
Trinn 1. Faktor inn den største fellesfaktoren hvis mulig
I dette tilfellet kan vi se at 27 og 12 begge er delbare med 3, så la oss skille dem:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4)
Trinn 2. Identifiser om ligningens koeffisienter er kvadratiske tall
For å bruke denne metoden må du kunne få den nøyaktige kvadratroten av termer. Vær oppmerksom på at minustegnene er utelatt, ettersom disse tallene er firkanter som kan være produkter med to positive eller negative tall.
9x2 = 3x * 3x og 4 = 2 * 2
Trinn 3. Bruk de identifiserte kvadratrøttene til å skrive ned faktorene
Ta verdiene til a og c fra trinnet ovenfor (a = 9 og c = 4) og beregne kvadratrøttene deres - √ a = 3 og √ c = 2. De vil være faktorkoeffisientene til uttrykkene:
27x2 - 12 = 3 (9x2 - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)
Metode 5 av 6: Kvadratisk formel
Hvis de andre metodene mislykkes og ligningen ikke er jevnt faktorisert, bruker du kvadratisk formel. Vurder følgende eksempel:
x2 + 4x + 1 = 0
Trinn 1. Erstatt de tilsvarende verdiene i den kvadratiske formelen:
x = -b ± √ (b2 - 4c)
2.
Vi får uttrykket:
x = -4 ± √ (42 - 4•1•1) / 2
Trinn 2. Beregn verdien av x
Du bør få to verdier for x. Som vist ovenfor får vi to svar:
x = -2 + √ (3) eller x = -2 -√ (3)
Trinn 3. Bruk x -verdiene til å beregne faktorene
Erstatt x -verdiene. De vil være faktorene. Hvis vi identifiserer de to svarene som h og k, må vi skrive faktorene som følger:
(x - h) (x - k)
I dette tilfellet er det endelige svaret:
(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))
Metode 6 av 6: Bruke en kalkulator
Hvis det er mulig å bruke det, gjør en grafisk kalkulator factoring -prosessen mye enklere, spesielt i tester. Følgende instruksjoner er for en grafisk kalkulator. Vurder følgende eksempel:
y = x2 - x - 2
Trinn 1. Skriv inn ligningen i kalkulatoren
Du vil bruke en ligningsløser, også kjent som en [Y =] skjerm.
Trinn 2. Graf ligningen på kalkulatoren
Etter å ha skrevet inn ligningen, trykker du på [GRAPH] -tasten - du bør se en bue som representerer ligningen (og det vil være en bue siden vi har å gjøre med polynom).
Trinn 3. Se hvor buen krysser x -aksen
Siden polynomligninger vanligvis skrives som øks2 + bx + c = 0, dette er de to verdiene til x som gjør uttrykket lik null:
(-1, 0), (2, 0)
x = -1, x = 2
Hvis du ikke kan identifisere hvor grafen krysser x-aksen, trykker du på [2.] og deretter [TRACE]. Trykk på [2] eller velg "null". Skyv markøren til venstre for krysset, og trykk på [ENTER]. Skyv markøren til høyre for krysset, og trykk på [ENTER]. Skyv markøren så nær krysset og trykk [ENTER]. Kalkulatoren finner verdien av x. Gjør det samme for det andre krysset
Trinn 4. Erstatt x -verdiene oppnådd i forrige trinn i to faktoruttrykk
Når du bruker de to verdiene x (h og k), vil uttrykket som brukes være:
(x - h) (x - k) = 0
Derfor må de to faktorene være:
(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)
Tips
- Hvis du har en TI-84 (grafikk) kalkulator, er det et program som heter "SOLVER" som løser en kvadratisk ligning. Det løser også polynomer av andre grader.
- Hvis et begrep ikke eksisterer, er koeffisienten 0. Det kan være nyttig å skrive om ligningen hvis den gjør det, for eksempel: x2 + 6 = x2 + 0x + 6.
- Hvis du fakturerte et polynom ved hjelp av den kvadratiske formelen og fikk svar med radikaler, konverter x -verdiene til brøker for å sjekke dem.
- Hvis begrepet ikke har en skriftlig koeffisient, vil det være 1, det vil si x2 = 1x2.
- Etter mye øvelse, vil du til slutt kunne faktorisere polynom i hodet ditt. Inntil da skriver du dem ned på papir.