3 måter å faktorisere trinomer

Innholdsfortegnelse:

3 måter å faktorisere trinomer
3 måter å faktorisere trinomer

Video: 3 måter å faktorisere trinomer

Video: 3 måter å faktorisere trinomer
Video: How To Tell If Two Lines Are Parallel, Perpendicular, or Neither? 2024, Mars
Anonim

Et trinomin er et algebraisk uttrykk som består av tre termer. Du vil sannsynligvis lære å faktorisere kvadratiske treenigheter, som er treenigheter skrevet i formen øks2 + bx + c. Det er flere triks som kan brukes på forskjellige typer kvadratiske trinomier, men du blir bedre og raskere med trening. Polynomer av høyere grader, med termer som3 eller x4, kan ikke alltid løses med de samme metodene, men du kan ofte ty til enkel faktorisering eller termbytte for å gjøre dem til problemer som kan løses med en hvilken som helst kvadratisk formel.

trinn

Metode 1 av 3: Factoring x2 + bx + c

Trinomials Factor Trinn 1
Trinomials Factor Trinn 1

Trinn 1. Lær distribusjonseiendommen (også kjent som FOIL på engelsk) , for å multiplisere uttrykk som (x+2) (x+4).

Før du begynner med factoring, er det godt å vite hvordan dette fungerer:

  • multiplisere først vilkår: (x+2)(x+4) = x2 + _
  • Multipliser vilkårene for utenfor: (x+2) (x+

    Trinn 4.) = x2+ 4x + _

  • Multipliser vilkårene for innsiden: (x+

    Steg 2.)(x+4) = x2+4x+ 2x + _

  • multiplisere siste vilkår: (x+

    Steg 2.) (x

    Trinn 4.) = x2+4x+2x

    Trinn 8.

  • Forenkle: x2+4x+2x+8 = x2+6x+8
Trinomials Factor Trinn 2
Trinomials Factor Trinn 2

Trinn 2. Forstå faktorisering

Når du multipliserer to binomialer sammen ved å bruke den distribuerende, ender du opp med et trinomial (et tre-termuttrykk) av formen a x2+ b x+ c, hvor "a", "b" og "c" er vanlige tall. Hvis du starter med en ligning av samme form, kan du faktorisere den tilbake til to binomialer.

  • Hvis ligningen ikke er skrevet i den rekkefølgen, flytter du vilkårene til riktig posisjon. For eksempel, skriv om 3x - 10 + x2 som x2 + 3x - 10.
  • Som den største eksponenten er 2 (x2, kalles dette uttrykket "kvadratisk".
Trinomials Factor Trinn 3
Trinomials Factor Trinn 3

Trinn 3. Reserver et rom for svaret på metoden som presenteres

For nå er det bare å skrive (_ _) (_ _) i rommet dedikert til svaret. Vi fyller ut disse feltene snart.

Ikke sett + eller - tegn mellom blanke uttrykk ennå, ettersom vi ikke vet hvilket som skal brukes

Trinomials Factor Trinn 4
Trinomials Factor Trinn 4

Trinn 4. Fyll ut de første vilkårene

I enkle problemer der den første termen i din trinomial er bare x2vil vilkårene for den første stillingen alltid være x og x. Dette er faktorene til x2, fordi x ganger x = x2.

  • Vårt eksempel, x2 + 3x - 10, starter med x2, så kan vi skrive:
  • (x _) (x _)
  • Vi vil se på mer detaljerte problemer i neste avsnitt, inkludert trinomier som starter med et begrep som 6x2eller -x2. For nå, følg eksempelproblemet.
Trinomials Factor Trinn 5
Trinomials Factor Trinn 5

Trinn 5. Bruk faktorisering til å gjette de siste begrepene

Hvis du går tilbake og leser metoden som ble brukt i utgangspunktet, vil du se at multiplisering av de siste begrepene gir det siste uttrykket i polynomet (det uten x). Så for å faktorisere, må vi finne to tall som multipliserer for å danne det siste uttrykket.

  • I vårt eksempel, x2 + 3x - 10, den siste termen er -10.
  • Hva er faktorene til -10? Hvilke to tall multiplisert sammen utgjør -10?
  • Det er noen få muligheter: -1 ganger 10, 1 gang -10, -2 ganger 5 eller 2 ganger -5. Skriv ned disse parene et sted, så du ikke glemmer det.
  • Ikke endre svaret ennå. Hun ser fortsatt slik ut: (x _) (x _).
Trinomials Factor Trinn 6
Trinomials Factor Trinn 6

Trinn 6. Test hvilke muligheter som fungerer med utvendig og innvendig multiplikasjon

Vi har redusert de siste vilkårene til få muligheter. Test hver enkelt ved å multiplisere de eksterne og interne begrepene, og sammenlign deretter resultatet med vårt trinomium. For eksempel:

  • "X" -begrepet for vårt opprinnelige problem er "3x", så det er det vi ønsker å få i testen.
  • Test -1 og 10: (x -1) (x+10). Utenfor + innvendig verdi = 10x - x = 9x. Ikke.
  • Test 1 og -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. Dette er ikke riktig. Faktisk, etter å ha testet -1 og 10, vet du at svaret 1 og -10 vil være det motsatte av resultatet ovenfor: -9x i stedet for 9x.
  • Test -2 og 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Dette samsvarer med det opprinnelige polynomet, så dette er det riktige svaret: (x-2) (x+5).
  • I enkle tilfeller som dette, når det ikke er noen konstant foran x2, kan du bruke en snarvei: bare legg til de to faktorene og sett et "x" etter (-2+5 → 3x). Dette vil ikke fungere med mer kompliserte problemer, så det er godt å huske hele banen beskrevet ovenfor.

Metode 2 av 3: Faktorisere ut mer forseggjorte trinomier

Trinomials Factor Trinn 7
Trinomials Factor Trinn 7

Trinn 1. Bruk enkel factoring for å legge til rette for mer omfattende problemer

La oss si at du må faktorere 3x2 + 9x - 30. Se etter et tall som faktorer alle tre begrepene (deres "største fellesdeler", eller MDC). I dette tilfellet er det 3:

  • 3x2 = (3) (x2)
  • 9x = (3) (3x)
  • -30 = (3)(-10)
  • Så 3x2 + 9x - 30 = (3) (x2+3x-10). Vi kan faktorisere ut det nye trinomiet ved å bruke trinnene i begynnelsen av denne artikkelen. Svaret blir (3) (x-2) (x+5).
Trinomials Factor Trinn 8
Trinomials Factor Trinn 8

Trinn 2. Se etter mer detaljerte faktorer

Noen ganger kan faktoren innebære variabler, eller du må kanskje faktorere noen ganger til du finner det enkleste uttrykket som er mulig. Her er noen eksempler:

  • 2x2y + 14xy + 24y = (2y)(x2 + 7x + 12)
  • x4 + 11x3 - 26x2 = (x2)(x2 + 11x - 26)
  • -x2 + 6x - 9 = (-1)(x2 - 6x + 9)
  • Ikke glem å faktorisere det nye trinomiet en gang til, ved å bruke trinnene fra begynnelsen. Sjekk svaret ditt og finn lignende eksempelproblemer nær slutten av denne artikkelen.
Trinomials Factor Trinn 9
Trinomials Factor Trinn 9

Trinn 3. Løs problemer med et tall foran x2.

Noen kvadratiske trinomier kan ikke forenkles før du når den enkleste typen problem. Lær hvordan du løser problemer som 3x2 + 10x + 8 og øv deg deretter på eksemplproblemene på slutten av denne artikkelen:

  • Sett sammen svaret: (_ _)(_ _)
  • De første begrepene har et "x" hver, og når de multipliseres, resulterer det i 3x2. Det er bare ett mulig alternativ her: (3x _) (x _).
  • Oppgi faktorene til 8. Våre alternativer er 1 ganger 8, eller 2 ganger 4.
  • Test dem ved å bruke begrepene ute og inne. Vær oppmerksom på at rekkefølgen på faktorer er viktig, ettersom det eksterne uttrykket blir multiplisert med "3x", ikke med "x". Prøv alle mulighetene til du får et resultat utenfra + innen 10x (i henhold til det opprinnelige problemet):
  • (3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Ikke.
  • (3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Ikke.
  • (3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Ikke.
  • (3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Ja, dette er den riktige faktoren.
Trinomials Factor Trinn 10
Trinomials Factor Trinn 10

Trinn 4. Bruk substitusjon for trinomier av høyere kvalitet

Læreboken din i matematikk kan overraske deg med en høy x eksponentligning4, selv etter å ha brukt enkel faktorisering for å lette problemet. Prøv å erstatte den med en ny variabel som gjør ligningen til noe du kan løse. For eksempel:

  • x5+13x3+36x
  • = (x) (x4+13x2+36)
  • La oss finne på en ny variabel. Vi vil si at y = x2 og vi vil gjøre erstatninger:
  • (x) (y2+13y+36)
  • = (x) (y+9) (y+4). Gå nå tilbake til å bruke den opprinnelige variabelen:
  • = (x) (x2+9) (x2+4)
  • = (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metode 3 av 3: Faktorisering i spesielle tilfeller

Trinomials Factor Trinn 11
Trinomials Factor Trinn 11

Trinn 1. Se etter primtall

Sjekk om konstanten i det første eller tredje uttrykket i treenigheten er et primtall. Et primtall kan bare deles likt alene og med 1, så det er bare ett par binomiske faktorer. Br>

  • For eksempel i x2 + 6x + 5, "5" er et primtall, så binomien skal se slik ut: (_ 5) (_ 1).
  • I 3x problem2+10x+8, 3 er et primtall, så binomien skal se slik ut: (3x _) (x _).
  • For 3x problemet2+4x+1, både "3" og "1" er primtall, så den eneste mulige løsningen er (3x+1) (x+1). (Du bør fortsatt utføre denne multiplikasjonen for å kontrollere beregningen, ettersom noen uttrykk ikke kan regnes med - for eksempel har 3x2 + 100x + 1 ingen faktorer).
Trinomials Factor Trinn 12
Trinomials Factor Trinn 12

Trinn 2. Kontroller at treenigheten er en perfekt firkant

Et perfekt kvadratisk trinomial kan deles inn i to identiske binomialer, og faktoren skrives vanligvis som (x+1)2, i stedet for (x+1) (x+1). Her er noen vanlige som har en tendens til å dukke opp i trøbbel:

  • x2+2x+1 = (x+1)2, og x2-2x+1 = (x-1)2
  • x2+4x+4 = (x+2)2, og x2-4x+4 = (x-2)2
  • x2+6x+9 = (x+3)2, og x2-6x+9 = (x-3)2
  • I et perfekt firkantet trinomium i form av et x2 + bx + c, begrepene "a" og "c" er alltid positive perfekte firkanter (som 1, 4, 9, 16 eller 25), og begrepet b (positivt eller negativt) er alltid lik 2 (√a * √c).
Trinomials Factor Trinn 13
Trinomials Factor Trinn 13

Trinn 3. Sjekk om det ikke er noen løsning

Ikke alle trinomier kan regnes med. Hvis du sitter fast på et kvadratisk trinomium (aks2+bx+c), bruk den kvadratiske formelen for å finne resultatet. Hvis de eneste svarene er kvadratroten til et negativt tall, så er det ingen reell løsning, så det er ingen faktorer.

For ikke-kvadratiske trinomer bruker du Eisenstein-kriteriet, som er beskrevet i hint-delen

Svar og problemeksempler

  1. Svar på de mest forseggjorte faktorproblemene.

    Dette er problemene med delen om "mer forseggjorte" treenigheter. Vi har allerede forenklet dem, noe som gjør dem til et enklere problem. Prøv nå å løse dem ved å følge trinnene fra begynnelsen, og sjekk beregningene her:

    • (2y) (x2 + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
    • (x2) (x2 + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
    • (-1) (x2 -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)2
  2. Prøv å løse mer komplekse factoring -problemer.

    Disse problemene har en felles faktor i hvert begrep som må regnes med først. Marker mellomrommet etter likhetstegnene for å se svaret og sjekk beregningene dine her:

    • 3x3+3x2-6x = (3x) (x+2) (x-1) ← uthev dette feltet for å se svaret ditt
    • -5x3y2+30x2y2-25y2x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
  3. Tren med vanskelige problemer.

    Disse problemene kan ikke deles inn i enklere ligninger, så du må lage et svar i form av (_x + _) (_ x + _) ved å teste:

    • 2x2+3x-5 = (2x+5) (x-1) ← uthev for å se svaret
    • 9x2+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)2 (Tips: du må kanskje prøve mer enn et par faktorer for 9x).

    Tips

    • Hvis du ikke vet hvordan du skal faktorisere et kvadratisk trinomin (aks2+bx+c), kan du bruke den kvadratiske formelen til å finne verdien av x.
    • Selv om du ikke trenger å vite hvordan du gjør dette, kan du bruke Eisensteins kriterium til raskt å avgjøre om et polynom er ureduserbart og ikke kan regnes med. Dette kriteriet gjelder for ethvert polynom, men det fungerer spesielt godt med trinomer. Hvis det er et primtall "p" som deler de to siste begrepene likt og tilfredsstiller følgende betingelser, er polynomet ureduserbart:

      • Den konstante termen (ingen variabel) er et multiplum av p, men ikke p.2.
      • Hovedbegrepet (f.eks. "A" i øks2+bx+c) er ikke et multiplum av s.
      • For eksempel 14x2 + 45x + 51 er ureduserbar, ettersom det er et primtall (3) som deler 45 og 51 likt, men ikke 14, og 51 kan ikke deles likt med 32.

    Merknader

    Selv om dette er sant for kvadratiske ligninger, er faktorable trinomin ikke nødvendigvis produktet av to binomialer. For eksempel: x4 + 105x + 46 = (x2 + 5x + 2) (x2 - 5x + 23).

Anbefalt: